对角线法则 :随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数？

抖音真文案网 2022年06月26日 22:09 106 admin

这个问题本身就是一个很有争议的话题，但是如果站在数学的角度上考虑，这个问题却是有确切的答案的。随手画的直线长度是无理数的可能性更大些。

首先我们可以假设这里的随意画出的线段长度是随机性的，你可以画出长度为10的线段，也可以画出长度为π的，完全不收任何因素影响。那么这个问题就转变成在所有的实数中（因为线段的长度总是一个实数，不可能是虚数。）是有理数多还是无理数多？

有人会问，这个无理数和有理数之间还可以比数量多少？这个真的可以！

对角线法则
:随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数？

1874年，德国数学家康托尔发表论文证明了一个惊人的结论，他利用创立的对角线法则证明了，所有的整数和有理数是一一对应的，而实数不能与整数一一对应。何为一一对应？

比如，小明和小白手里都藏着很多张牌，他们却并不会数数，那有什么方式来验证他们手中谁的牌更多呢？由于他们的数学水平实在太差，他们想了好久终于想到了一个很好的方法。那就是每次每人抽一张，放在一起，然后再抽一张，直到谁手中没有牌了，那么手中还有牌的人牌就是最多的。这是当然是显而易见的笨办法。

对角线法则
:随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数？

上面每次都会从小明小白手中各取一张，我们就可以理解成一一对应。假如他们两个手中的牌刚刚可以完全对应结束，那么他们手中的牌数量就是一样多的。这是一个显而易见的结论，通常情况下，在有限张牌的情况下，这是一个很容易接受的概念。但是如果小明小白手中的牌是无限个，恐怕就不一定有人敢下这样的结论了。

康托尔证明了，有理数可以与所有整数一一对应，同时，偶数也可以和所有整数相对应，奇数也可以和所有整数相对应。等等，偶数能和整数相对应，那不就是说偶数的个数和有理数是一样多的？是的，很反常，但是这是经过理论严格证明的。

对角线法则
:随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数？

同时康托尔也证明了另外一个重要结论：有理数都是可数的，而实数不可数。所以，实数无法与有理数一一对应，因为实数的数量要远远多于有理数。也就是说，你在随意画一条线，如果真的有某种方法可以精确测量这条线的长度，那么这里的长度几乎全部是无理数。

顺便说一句，康托尔当年提出的集合论遭到了很大争议，康托尔本人甚至一度因为遭受的非议太多，而精神都出现过问题。好在数学界最后拨乱反正，集合论成为了现代数学的基础理论。

对角线法则
:随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数？

希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

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